HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG TOÁN 6
Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì:
a) n2 + n + 2014 chia hết cho 2
b) n2 + n + 2016 không chia hết cho 5
Giải: a) n2 + n + 2014 = n(n + 1) + 2014
Ta có n là số tự nhiên nên n(n + 1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp.
Suy ra:
và
. Vậy: n(n + 1) + 2014 chia hết cho 2.
Hay: n2 + n + 2014 chia hết cho 2
b) Ta có: n2 + n + 2016 = n(n + 1) + 2016
Vì n là số tự nhiên nên n(n + 1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp.
Suy ra: Tích n(n + 1) có chữ số tận cùng là 0; 2; 6
Nên: n(n + 1) + 2016 có chữ số tận cùng là 6; 8; 2
Vậy: n2 + n + 2016 không chia hết cho 5
Bài 2: So sánh:
a. A =
và B =

b. C = 1. 3. 5. 7 … 99 và D =


c. M = 1 + 3 + 32 + ..........+ 3100 và N = 30.398
Giải: a) Ta có:



Vì:
Nên: 2014A > 2014B. Suy ra: A > B
b) Ta có:



Vậy: C = D
c) Biến đổi: M =

Vậy: M < N.
Bài 3: Chứng minh rằng nếu một trong hai số 4n – 1 ; 4n + 1 là số nguyên tố thì số còn lại là hợp số (Với
)
Giải: Với
, ta có 4n – 1 ;
; 4n + 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 3. Mà
không chia hết cho 3, nên trong 2 số 4n – 1 ; 4n + 1 có một số chia hết cho 3. Vậy nếu một trong hai số 4n – 1 ; 4n + 1 là số nguyên tố thì số còn lại là hợp số (Với
)
Bài 4: Chứng minh rằng:
là tích của hai số tự nhiên liên tiếp.
Giải: Ta có:
=


là tích 2 số nguyên liên tiếp.

Bài 5: Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số, biết rằng 2n + 1 và 3n + 1 đồng thời là hai số chính phương.
Giải: Vì n là số tự nhiên có 2 chữ số nên:


Vì 2n + 1 là số chính phương lẻ. Nên 2n + 1 có thể là các số: 25; 49; 81; 121; 169.
Suy ra n nhận các giá trị: 12; 24; 40; 60; 84
Trong các giá trị này chỉ có n = 40 thì 2n + 1 và 3n + 1 cùng là số chính phương.
Vậy số phải tìm là: 40
Bài 6: Tìm số có hai chữ số, biết rằng số đó chia hết cho 3 và nếu thêm số 0 vào giữa các chữ số rồi cộng vào số mới tạo thành một số bằng hai lần chữ số hàng trăm của nó thì được một số lớn gấp 9 lần số phải tìm.
Giải: Gọi số cần tìm là
. Theo bài ra ta có:
hay:


Từ 3a = 2b suy ra 2b
3 mà

do
mà

.
Ta có: a
3, a
2, (2,3) = 1
a
6,
a = 6, b = 9.
KL: Vậy
= 69
Bài 7: Cho 2014 điểm trong đó có đúng 14 điểm thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Hỏi vẽ được tất cả bao nhiêu đường thẳng từ 2014 điểm đó?
Giải: Chia các điểm đã cho thành 2 nhóm: Nhóm thứ nhất gồm 14 điểm thẳng hàng, nhóm thứ 2 gồm 2000 điểm còn lại trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng.
Qua các điểm ở nhóm thứ nhất vẽ được chỉ 1 đường thẳng.
Qua 2000 điểm ở nhóm thứ 2 vẽ được
đường thẳng
Vẽ các đường thẳng đi qua 1điểm của nhóm 1 với 1 điểm của nhóm 2 ta được 14.2000=28000 đường thẳng
Vậy vẽ được tất cả là: 1+ 1999000 + 28000 = 2027001 đường thẳng.
.......................Hết.......................